Lekcja 16: Dodatkowe filmy wideo - warto zajrzeć! Formalna definicja granicy ciągu. Dowód, że dany ciąg jest zbieżny, wychodząc z formalnej definicji zbieżności. Wzór na sumę skończonego szeregu geometrycznego. Inne "wyprowadzenie" wzoru na sumę nieskończonego szeregu geometrycznego. Suma szeregu geometrycznego jako granica. Juliusz: Dany jest ciąg rekurencyjny: a 1 =10 a n+1 =4+ √ a n +3 (dla dowolnego n≥1) Korzystając z twierdzenia o ciągu monotonicznym i ograniczonym uzasadnić zbieżność tego ciągu, a następnie obliczy ́ jego granice. Najbardziej interesuje mnie dowód na zbieżność (nie wiem jak do tego podejść), bo granica to intuicyjnie 7. Granice jednostronne funkcji w punkcie. Rozważmy funkcję . Jak łatwo zauważyć dziedzinę tej funkcji definiujemy jako przedział . Dla prawie każdej liczby x0 z tego przedziału jesteśmy w stanie podać granicę . Nie jesteśmy jednak w stanie podać granic tej funkcji dla punktów , jako iż funkcja jest określona odpowiednio w Okazuje się, że czasami można we w miarę prosty sposób obliczyć sumę szeregu liczbowego, przy wykorzystaniu pewnych sprytnych metod. Metody te zostały omówione w rozwiązaniach wideo poniższych zadań. Zadanie 1. Wykaż zbieżność oraz oblicz sumę szeregu ∑n=1∞ 1 n(n + 1). Zadanie 2. Wykaż zbieżność oraz oblicz sumę Granica ciągu. matematykaszkolna.pl. Granica ciągu Kamilox: Jak obliczyć granice poniższego ciagu przy n→ ∞. 20 n+1 +15 n−7. (5 n+3 +5) (2 2n+1 −15) 20 sty 19:16. chichi: 20 n+1 = 4 n+1 5 n+1 = 2 2n+2 5 n+1 Po wymnożeniu nawiasów w mianowniku czynnikiem wiodącym będzie wówczas 5 n+3 2 2n+1 Zatem dzielić będziemy licznik i Vay Nhanh Fast Money. Definicja Niech f(x) oznacza funkcję, która jest określona w przedziale .Funkcja f(x) ma w punkcie x0 granicę lewostronną g (używamy zapisu ) jeżeli dla każdego ciągu argumentów (xn) o wyrazach należących do przedziału zbieżnego do x0, ciąg wartości (f(xn)) jest zbieżny do g. Definicja Niech f(x) oznacza funkcję, która jest określona w przedziale .Funkcja f(x) ma w punkcie x0 granicę prawostronną g (używamy zapisu ) jeżeli dla każdego ciągu argumentów (xn) o wyrazach należących do przedziału zbieżnego do x0, ciąg wartości (f(xn)) jest zbieżny do g. Twierdzenie Funkcja f(x) ma w punkcie x0 granicę, jeżeli istnieje lewostronna i prawostronna granica funkcji w punkcie x0 i granice te są równe. Poniższy rysunek ilustruje różnicę między granicą prawostronną i lewostronną: Funkcja przedstawiona na rysunku ma różne granice lewostronną i prawostronną, więc w punkcie x0 nie posiada granicy. Przykład Obliczyć granicę lewostronną i prawostronną funkcji: w punkcie równym Obliczamy granicę lewostronną: Wyjaśnienia wymaga zapis w nawiasach kwadratowych. Zapis 0 - w nawiasie kwadratowym oznacza, że (x) jest zbieżne do zera i przyjmuje ujemne wartości. Zapis 0+ w nawiasie kwadratowym oznacza, że (x) jest zbieżne do zera i przyjmuje dodatnie zapis ułatwia rachunek granic. Przyjrzyjmy się granicy prawostronnej. Zgodnie z definicją bierzemy pod uwagę ciąg wartości funkcji (xn) o wyrazach większych od zera, czyli należących do przedziału (0;a), który jest zbieżny do zera. Granica funkcji prawostronna będzie równa granicy ciągu wartości funkcji: Wszystkie wyrazy ciągu argumentów są dodatnie zgodnie z założeniem, ciąg argumentów jest zbieżny do zera, więc ma tu zastosowanie następujące twierdzenie, zgodnie z którym powyższa granica jest równa plus nieskończoności. Zapis z nawiasami kwadratowymi upraszcza całe z rozwiązaniamiZadania związane z tematem:Granica lewostronna i prawostronna funkcji Zadanie - granica lewostronna i prawostronnaObliczyć granicę prawostronną i lewostronną funkcjia) w punkcie x0=2b) w punkcie x0=-3Pokaż rozwiązanie zadania Zadanie - granica lewostronna i prawostronneObliczyć granicę prawostronną i lewostronną funkcji:a) w punkcie x0=1b) w punkcie x0=0Pokaż rozwiązanie zadania Zadanie - granica prawostronna i lewostronnaObliczyć granicę prawostronną i lewostronną funkcji w punkcie x0=0Pokaż rozwiązanie zadania Zadanie - granica lewostronna i prawostronnaObliczyć granicę prawostronną i lewostronną funkcji w punkcie x0=-1Pokaż rozwiązanie zadaniaInne zagadnienia z tej lekcjiSąsiedztwo punktuCo to jest sąsiedztwo punktu?Granica funkcjiGranica funkcji w punkcie, podstawowe wzory, obliczanie granic, definicja Heinego oraz Cauchy' niewłaściwa funkcjiCo to jest granica niewłaściwa funkcji i jak ją obliczamy?Granica funkcji w nieskończonościDefinicja granicy funkcji w nieskończoności oraz sposoby obliczania granic wielomianów i funkcji wymiernychTest wiedzySprawdź swoje umiejętności z materiału zawartego w tej lekcji.© 2010-05-12, ART-860 Niektóre treści nie są dostosowane do Twojego profilu. Jeżeli jesteś pełnoletni możesz wyrazić zgodę na przetwarzanie swoich danych osobowych. W ten sposób będziesz miał także wpływ na rozwój naszego serwisu. Odpowiedzi blocked odpowiedział(a) o 11:59 Granica to 3Najpierw dzielenie przez sprzężenie, a potem dzielisz licznik i mianownik przez mianownik (w ten sposób pozbywasz się mianownika i upraszczasz licznik) Powodzenia ;) 0 0 Uważasz, że znasz lepszą odpowiedź? lub Oblicz granice ciągu Adi: policzyć granice ciągu przykład najlepiej wpisać w wolframalpha żeby zobaczyć jak wygląda Limit[(3(2 − n) + 5(10 + 2 n) − 7(−1 + n))/(−2(−2 + 2 n) + 4(1 + n) + 7n), n −> Infinity] 5 gru 23:31 Mila: 3(2 − n) + 5(10 + 2 n) − 7(−1 + n) Lim= tak ? −2(−2 + 2 n) + 4(1 + n) + 7n 5 gru 23:34 Ajtek: Mila, tam chyba są potęgi . 5 gru 23:35 5 gru 23:36 Mila: No to zostawiam Cię Ajtku! walcz. 5 gru 23:38 Ajtek: Mila, fakt, że przypominałem sobie to niedawno ≠ że to umiem . 5 gru 23:43 Mila: Mam liczyć? 5 gru 23:45 Ajtek: Licz . Mi wyszło ∞ na szybko. Zapewne wielbłąd wielki... 5 gru 23:47 5 gru 23:48 Ajtek: Piotr czy my się dzisiaj "witalim" 5 gru 23:49 Piotr: chyba nie Witaj Ajtek, Mila PS ABBA hihi 5 gru 23:50 Piotr: 6 − 1*0 + 2/2 = ? takie zadanie dzisiaj na forum rozwiazalem ..........Piotrowi 5 gru 23:53 Ajtek: Cześć Piotr . Się nie hahaj, ABBA to klasyk 5 gru 23:56 Ajtek: Za trudne Mila, robiłem tą granice w pamięci. Nie miałem pewności, czy wynik się zgadza. A kodować rozwiązania mi się nie chciało. 5 gru 23:59 Mila:32 − n + 510 + 2 n − 7−1 + n =−2−2 + 2 n + 4(1 + n) + 7n 3*(1/3)n+25n+5−(1/7)*7n == 7n+4*4n−4n*(1/4) 3*(1/3)n+255*25n−(1/7)*7n ==dzielę licznik i mianownik przez 7n 1 25 1 3*()n+255* ()n− 21 7 7 lim=∞ 19 4 1+*()n 4 7 6 gru 00:00 Ajtek: Mila 6 gru 00:01 Mila: Ajtek, co ten stworek pluje na mnie? 6 gru 00:06 Ajtek: "Pluje" serduszkami . 6 gru 00:07 Mila: Piotrze, dlaczego wyśmiewasz ABBA? Dobranoc, Panowie 6 gru 00:13 Ajtek: Spokojnej Mila . 6 gru 00:21 Piotr: Dobranoc Mila sie nie wysmiewam tylko zauwazylem w jakims poscie, ze Ajtek cos wspomnial i tak podchwycilem. myslalem ze moze jakos Nasz Znawca rozwinie swoja mysl muzyczna 6 gru 00:28 6 gru 00:34 Piotr: 6 gru 00:43 Ajtek: Mila 6 gru 00:45 asdf: @Mila 32 − n = 32 * 3−n = 9 * (1/3)n 6 gru 01:37 Piotr: 6 gru 01:55 asdf: 6 gru 00:00, druga linijka 6 gru 02:11 Aga1.: @ asdf, masz rację, ale nie ma to wpływu na końcowy wynik. 6 gru 10:17 Dobrze dobrana instalacja słoneczna powinna w pełni odpowiadać faktycznemu zapotrzebowaniu na energię elektryczną w skali roku. Dzięki temu instalacja wyprodukuje nadwyżkę energii w lecie, aby zimą móc korzystać ze zgromadzonych zapasów przez Twoje panele fotowoltaiczne. Dlatego też tak istotne jest dokładne określenie ilości energii zużywanej w danym budynku. W oszacowaniu tej wartości pomogą Ci nasi specjaliści. Podczas wstępnego audytu telefonicznego przeprowadzimy niezbędne obliczenia, które pozwolą na dokładne dopasowanie mocy paneli do Twoich czekaj i już teraz zainwestuj w instalację fotowoltaiczną!Instalacja fotowoltaiczna – zapotrzebowanie przeciętnego gospodarstwa domowegoPrzeciętne gospodarstwo domowe w Polsce zużywa około 4200 kWh energii elektrycznej w ciągu roku. Dom mieszczący się w tej uśrednionej wartości zużycia potrzebuje instalacji słonecznej o mocy mniej więcej 5,00 - 5,25 wszystko warto jednak obliczyć dokładne zapotrzebowanie dla własnego domu, mając na uwadze fakt, że każda rodzina w nieco inny sposób wykorzystuje wszelkie urządzenia obliczyć zapotrzebowanie energii na własną rękę?Nasi doradcy obliczą to za Was, jednakże istnieje możliwość samodzielnego obliczenia wartości zapotrzebowania na prąd, jak i jego zużycia. Pomocne będą w tym gotowe dokładnie przeanalizować rachunki za prąd z ostatniego roku, jak i tabliczki znamionowe na urządzeniach elektrycznych w domu. Najłatwiejszym sposobem jest sprawdzenie rocznego zużycia energii w kWh na rachunku lub na portalu Twojego Operatora Energii. Kiedy masz już wszystkie niezbędne dane, wystarczy podstawić je do poniższego wzoru:Potrzebna moc instalacji [kWp] = roczne zużycie energii w kWh x 1,2 (lub sposobem na obliczenie potrzebnej mocy instalacji jest poniższy wzór. Jest on mniej dokładny niż pierwsze wyliczenie, ponieważ średni rachunek może zależeć od wielu wartości - różne taryfy: G11, G12, G12w lub różne opłaty handlowe. Dlatego najbardziej rekomendowanym rozwiązaniem jest sprawdzenie dokładnego, rocznego zużycia energii na przestrzeni kilku lat i na tej podstawie dopasowanie mocy instalacji. Drugi, mniej dokładny wzór na obliczenie mocy instalacji wygląda następująco:Moc instalacji [kWp] = [uśredniony miesięczny rachunek za prąd x 12 miesięcy x 2(współczynnik uwzględniający sposób rozliczania energii z fotowoltaiki przez Zakład Energetyczny)/ roczną produkcję z 1kWp ( W Polsce średnio 1000 kWh na m²)Są to szacunkowe wyliczenia. Warto pamiętać, że nasi specjaliści wykonają dokładne obliczenia i dobiorą moc instalacji do Państwa potrzeb. Nasi doradcy wezmą również pod uwagę kąt nachylenia Twojej przyszłej instalacji oraz zorientowanie domu względem słońca, aby jak najlepiej przedstawić Ci tym dwóm powyższym wzorom możesz w prosty sposób obliczyć, jaka moc instalacji fotowoltaicznej będzie dla Ciebie swój adres i otrzymaj darmową wycenę! Ile potrzebuję paneli fotowoltaicznych, aby pokryć zapotrzebowanie mojego domu?Ważnym aspektem instalacji fotowoltaicznej jest jej wielkość. Zbyt mała ilość paneli nie zaspokoi zapotrzebowania gospodarstwa, przez co wysokość rachunków ulegnie tylko częściowemu zmniejszeniu. Zbyt duża natomiast oznaczać będzie ogromną nadprodukcję, której nie będzie można zużytkować, co może skutkować utraceniem wyprodukowanej wyliczyć optymalną ilość paneli fotowoltaicznych?Ilość potrzebnych paneli fotowoltaicznych zależy od wielu czynników. Między innymi od nasłonecznienia terenu, ustawienia domu względem kierunków geograficznych, zużycia energii w gospodarstwie, rodzaj i wielkość dachu oraz wielu innych. Prawidłowe wyliczenie tych wszystkich parametrów najlepiej pozostawić naszym doradcom, którzy posiadają doświadczenie i prawidłowo ocenią warunki. Takie wyliczenie jest zupełnie darmowe i nie zobowiązuje do dalszej współpracy. Wystarczy wejść na stronę i wpisać swój adres, a następnie otrzymać wstępne wyliczenia dotyczące instalacji czego zależy wielkość instalacji fotowoltaicznej?Należy zauważyć przede wszystkim, że instalacja fotowoltaiczna nie pracuje jednakowo przez cały rok. Nadmiar wyprodukowanej energii w lecie powinien pokryć jej niedobory zimą. Podobne wyrównanie istnieje w systemie dobowym. Prąd wykorzystywany nocą powinien być pokrywany z energii pozyskiwanej w dzień. Panele fotowoltaiczne są również zależne od warunków pogodowych, i to także powinno wziąć się pod uwagę podczas liczenia. W czasie deszczu uzyskamy mniej prądu niż w słoneczny dzień. Wszystkie te aspekty są ujmowane statystycznie w programach, które wyliczają zapotrzebowanie na panele fotowoltaiczne. Nasi specjaliści na podstawie analizy średniej wieloletniej nasłonecznienia oraz wyliczeniu dokładnych uzysków w danej szerokości geograficznej są w stanie precyzyjnie obliczyć parametry pracy ważnych poziomówMoc paneli fotowoltaicznych podaje się najczęściej w kWp (kilowatopikach). Jest to jednostka określająca moc instalacji fotowoltaicznej, która mówi jaką maksymalną wydajność mogą osiągnąć panele w warunkach laboratoryjnych. W zależności od mocy zmieniają się pewne warunki ich można tu dwie takie granice: 10 kWp oraz 50 kWp. Przy pierwszej zmieniają się warunki rozliczania z operatorem sieci. Poniżej 10 kWp operator pobiera 20% energii oddanej do sieci jako opłaty za magazynowanie i przesył. Powyżej 10 kWp wartość tej opłaty rośnie do 30%. Natomiast instalacje powyżej 50 kWp traktowane są jako przemysłowe i wymagają pozwolenia na wiedzieć, że dla zwykłego gospodarstwa domowego instalacja o mocy 4 do 7 kWp jest zazwyczaj zupełnie wystarczająca. Sprawdź to, używając naszego kalkulatora fotowoltaiki. Oblicz swoje zapotrzebowanie na naszej stronie Otovo! Na tej stronie znajduje się zestawienie wielu różnych granic. Więcej przykładów wraz z omówieniem teorii znajdziesz w kolejnych podrozdziałach. Szybka nawigacja do zadania numer: 5 10 15 20 25 30 35 .Oblicz granicę \(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}+3\).\(3\)\[\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}+3=0+3=3\]Oblicz granicę \(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}-\sqrt{2}\).\(-\sqrt{2}\)\[\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n}-\sqrt{2}=0-\sqrt{2}=-\sqrt{2}\]Oblicz granicę \(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{5n}+21\).\(21\)\[\begin{split} \lim_{n \to \infty} \frac{1}{5n}+21 &=\lim_{n \to \infty} \frac{1}{5}\cdot \frac{1}{n}+21=\\[16pt] &=\frac{1}{5}\cdot 0+21=\\[16pt] &=0+21=21 \end{split}\]Oblicz granicę \(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2}+\frac{2}{n^3}-\frac{100}{n^6}\).\(0\) \[\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2}+\frac{2}{n^3}-\frac{100}{n^6}=0+0-0=0\]Oblicz granicę \(\lim_{n \to \infty} n\left(\sqrt{2n^2+1}-\sqrt{2n^2-1}\right)\)\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)\[\begin{split}&\lim_{n \to \infty} n\left(\sqrt{2n^2+1}-\sqrt{2n^2-1}\right)=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{n\left(2n^2+1-(2n^2-1)\right)}{\left(\sqrt{2n^2+1}+\sqrt{2n^2-1}\right)}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{2n}{\left(\sqrt{2n^2+1}+\sqrt{2n^2-1}\right)}\frac{:n}{:n}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \dfrac{\dfrac{2n}{n}}{\sqrt{\dfrac{2n^2}{n^2}+\dfrac{1}{n^2}}+\sqrt{\dfrac{2n^2}{n^2}-\dfrac{1}{n^2}}}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \dfrac{2}{\sqrt{2+\dfrac{1}{n^2}}+\sqrt{2-\dfrac{1}{n^2}}}=\\[16pt] &=\frac{2}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\end{split}\]Oblicz granicę \(\lim_{n \to \infty} n\left(\sqrt{7n^2+3}-\sqrt{7n^2-3}\right)\)\(\frac{3\sqrt{7}}{7}\)\[\begin{split} &\lim_{n \to \infty} n\left(\sqrt{7n^2+3}-\sqrt{7n^2-3}\right)=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{n\left(7n^2+3-(7n^2-3)\right)}{\left(\sqrt{7n^2+3}+\sqrt{7n^2-3}\right)}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{6n}{\left(\sqrt{7n^2+3}+\sqrt{7n^2-3}\right)}\frac{:n}{:n}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \dfrac{\dfrac{6n}{n}}{\sqrt{\dfrac{7n^2}{n^2}+\dfrac{3}{n^2}}+\sqrt{\dfrac{7n^2}{n^2}-\dfrac{3}{n^2}}}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \dfrac{6}{\sqrt{7+\dfrac{3}{n^2}}+\sqrt{7-\dfrac{3}{n^2}}}=\\[16pt] &=\frac{6}{2\sqrt{7}}=\frac{3}{\sqrt{7}}=\frac{3\sqrt{7}}{7} \end{split}\]Oblicz granicę \(\lim_{n \to \infty} \frac{5n^6-3n^4+2}{5-9n^6}\)\(-\frac{5}{9}\)\[\begin{split} &\lim_{n \to \infty} \frac{5n^6-3n^4+2}{5-9n^6}=\\[15pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{5n^6-3n^4+2}{5-9n^6}\ \frac{:n^6}{:n^6}=\\[15pt] &=\lim_{n \to \infty} \dfrac{\dfrac{5n^6}{n^6}-\dfrac{3n^4}{n^6}+\dfrac{2}{n^6}}{\dfrac{5}{n^6}-\dfrac{9n^6}{n^6}}=\\[15pt] &=\lim_{n \to \infty} \dfrac{5-\dfrac{3}{n^2}+\dfrac{2}{n^6}}{\dfrac{5}{n^6}-9}=\\[15pt] &=-\frac{5}{9} \end{split}\]Oblicz granicę \(\lim_{n \to \infty} \sqrt{n^2+4n+1}-\sqrt{n^2+2n}\)\(1\)\[ \begin{split} &\lim_{n \to \infty} \sqrt{n^2+4n+1}-\sqrt{n^2+2n}=\\[12pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{n^2+4n+1-n^2-2n}{\sqrt{n^2+4n+1}+\sqrt{n^2+2n}}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{2n+1}{\sqrt{n^2+4n+1}+\sqrt{n^2+2n}}\frac{:n}{:n}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \dfrac{\dfrac{2n}{n}+\dfrac{1}{n}}{\sqrt{\dfrac{n^2}{n^2}+\dfrac{4n}{n^2}+\dfrac{1}{n^2}}+\sqrt{\dfrac{n^2}{n^2}+\dfrac{2n}{n^2}}}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \dfrac{2+\dfrac{1}{n}}{\sqrt{1+\dfrac{4}{n}+\dfrac{1}{n^2}}+\sqrt{1+\dfrac{2}{n}}}=\\[16pt] &=\frac{2}{\sqrt{1}+\sqrt{1}}=\frac{2}{2}=1 \end{split} \]Oblicz granicę \(\lim_{n \to \infty} \frac{1-2+3-4+...-2n}{\sqrt{n^2+1}}\)\(-1\)\[ \begin{split} &\lim_{n \to \infty} \frac{1-2+3-4+...-2n}{\sqrt{n^2+1}}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{\left(1+3+...+(2n-1)\right)-(2+4+...+2n)}{\sqrt{n^2+1}}=\\[16pt] &\{\text{w liczniku mamy dwie sumy ciągów arytmetycznych}\}\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{\dfrac{(2n-1)+1}{2}\cdot n-\dfrac{2n+2}{2}\cdot n}{\sqrt{n^2+1}}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{n^2-n^2-n}{\sqrt{n^2+1}}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{-n}{\sqrt{n^2+1}}\frac{:n}{:n}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \dfrac{-\dfrac{n}{n}}{\sqrt{\dfrac{n^2}{n^2}+\dfrac{1}{n^2}}}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \dfrac{-1}{\sqrt{1+\dfrac{1}{n^2}}}=\\[16pt] &=\frac{-1}{\sqrt{1}}=-1 \end{split} \]Oblicz granicę \(\lim_{n \to \infty} \dfrac{1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+...+\dfrac{1}{2^n}}{1+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{3^n}}\)\(\frac{4}{3}\) W liczniku mamy sumę ciągu geometrycznego: \[ 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2^n}=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2 \] W mianowniku również mamy sumę ciągu geometrycznego: \[ 1+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{3^n}=\frac{1}{1-\frac{1}{3}}=\frac{3}{2} \] Zatem mamy: \[ \lim_{n \to \infty} \dfrac{1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+...+\dfrac{1}{2^n}}{1+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3^2}+...+\dfrac{1}{3^n}}=\dfrac{2}{\frac{3}{2}}=\frac{4}{3} \]Oblicz granicę \(\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n}}}}\)\(1\)\[\begin{split} &\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n}}}}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n}}}}\ \frac{:\sqrt{n}}{:\sqrt{n}}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \dfrac{\sqrt{\dfrac{n}{n}}}{\sqrt{\dfrac{n}{n}+\sqrt{\dfrac{n}{n^2}+\sqrt{\dfrac{n}{n^4}}}}}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \dfrac{\sqrt{1}}{\sqrt{1+\sqrt{\dfrac{1}{n}+\sqrt{\dfrac{1}{n^3}}}}}=\\[16pt] &=\frac{1}{\sqrt{1}}=1 \end{split}\]Oblicz granicę \(\lim_{n \to \infty} \sqrt{2}\cdot \sqrt[4]{2}\cdot \sqrt[8]{2}\cdot ...\cdot \sqrt[2^n]{2}\)\(2\)\[ \begin{split} &\lim_{n \to \infty} \sqrt{2}\cdot \sqrt[4]{2}\cdot \sqrt[8]{2}\cdot ...\cdot \sqrt[2^n]{2}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} 2^\tfrac{1}{2}\cdot 2^\tfrac{1}{4}\cdot ...\cdot 2^\tfrac{1}{2^n}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} 2^{\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{8}+...+\tfrac{1}{2^n}}=\\[16pt] &= 2^{\tfrac{\tfrac{1}{2}}{1-\tfrac{1}{2}}}=\\[16pt] &= 2^{\tfrac{1}{2}\cdot \tfrac{2}{1}}=\\[16pt] &= 2^1=2 \end{split} \]Oblicz granicę \(\lim_{n \to \infty} \left(\sqrt{n+6\sqrt{n}+1}-\sqrt{n}\right)\)\(3\)\[ \begin{split} &\lim_{n \to \infty} \left(\sqrt{n+6\sqrt{n}+1}-\sqrt{n}\right)=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \left(\sqrt{n+6\sqrt{n}+1}-\sqrt{n}\right)\cdot \frac{\sqrt{n+6\sqrt{n}+1}+\sqrt{n}}{\sqrt{n+6\sqrt{n}+1}+\sqrt{n}}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{n+6\sqrt{n}+1-n}{\sqrt{n+6\sqrt{n}+1}+\sqrt{n}}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{6\sqrt{n}+1}{\sqrt{n+6\sqrt{n}+1}+\sqrt{n}}\frac{:\sqrt{n}}{:\sqrt{n}}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \dfrac{6\sqrt{\dfrac{n}{n}}+\sqrt{\dfrac{1}{n}}}{\sqrt{\dfrac{n}{n}+6\sqrt{\dfrac{n}{n^2}}+\dfrac{1}{n}}+\sqrt{\dfrac{n}{n}}}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \dfrac{6+\sqrt{\dfrac{1}{n}}}{\sqrt{1+6\sqrt{\dfrac{1}{n}}+\dfrac{1}{n}}+1}=\\[16pt] &= \frac{6+\sqrt{0}}{\sqrt{1+0+0}+1}=\frac{6}{2}=3 \end{split} \]Oblicz granicę \(\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{1+2+3+...+n}}{n}\)\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)W liczniku pod pierwiastkiem mamy sumę ciągu arytmetycznego, zatem: \[ \begin{split} &\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{1+2+3+...+n}}{n}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \dfrac{\sqrt{\dfrac{1+n}{2}\cdot n}}{n}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \dfrac{\sqrt{\dfrac{n+n^2}{2}}}{n}\cdot \dfrac{\dfrac{1}{n}}{\dfrac{1}{n}}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \dfrac{\sqrt{\dfrac{n+n^2}{2n^2}}}{1}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \sqrt{\frac{1}{2n}+\frac{1}{2}}=\\[16pt] &=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2} \end{split} \]Oblicz granicę \(\lim_{n \to \infty} \frac{{\sqrt{n^2+\sqrt{n+1}}}-\sqrt{n^2-\sqrt{n-1}}}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}\)\(2\)\[ \begin{split} &\lim_{n \to \infty} \frac{{\sqrt{n^2+\sqrt{n+1}}}-\sqrt{n^2-\sqrt{n-1}}}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{{\sqrt{n^2+\sqrt{n+1}}}-\sqrt{n^2-\sqrt{n-1}}}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}\cdot \frac{({\sqrt{n^2+\sqrt{n+1}}}+\sqrt{n^2-\sqrt{n-1}})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{({\sqrt{n^2+\sqrt{n+1}}}+\sqrt{n^2-\sqrt{n-1}})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})} =\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{(n^2+\sqrt{n+1}-n^2+\sqrt{n-1})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{\left(\sqrt{n^2+\sqrt{n+1}}+\sqrt{n^2-\sqrt{n-1}}\right)(n+1-n)}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n-1})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{\left(\sqrt{n^2+\sqrt{n+1}}+\sqrt{n^2-\sqrt{n-1}}\right)}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{(n+1+\sqrt{n^2+n}+\sqrt{n^2-1}+\sqrt{n^2-n})}{\left(\sqrt{n^2+\sqrt{n+1}}+\sqrt{n^2-\sqrt{n-1}}\right)}\frac{:n}{:n}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{1+\frac{1}{n}+\sqrt{1+\frac{1}{n}}+\sqrt{1-\frac{1}{n^2}}+\sqrt{1-\frac{1}{n}}}{\sqrt{1+\sqrt{\frac{1}{n^3}+\frac{1}{n^4}}}+\sqrt{1-\sqrt{\frac{1}{n^3}-\frac{1}{n^4}}}}=\\[16pt] &=\frac{1+0+1+1+1}{\sqrt{1}+\sqrt{1}}=\frac{4}{2}=2 \end{split} \]Oblicz granicę \(\lim_{n \to \infty} \frac{(n+2)!+(n+1)!}{(n+2)!-(n+1)!}\)\(1\)\[ \begin{split} &\lim_{n \to \infty} \frac{(n+2)!+(n+1)!}{(n+2)!-(n+1)!}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)!\cdot (n+2)+(n+1)!}{(n+1)!\cdot (n+2)-(n+1)!}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)!\cdot (n+2+1)}{(n+1)!\cdot (n+2-1)}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)!\cdot (n+3)}{(n+1)!\cdot (n+1)}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{n+3}{n+1}\cdot \frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{1+\frac{3}{n}}{1+\frac{1}{n}}=\\[16pt] &=\frac{1}{1}=1 \end{split} \]Oblicz granicę \(\lim_{n \to \infty} \frac{7^n+5^n}{5^n+3^n}\)\(\infty \)\[ \begin{split} \lim_{n \to \infty} \frac{7^n+5^n}{5^n+3^n}&=\lim_{n \to \infty} \frac{7^n\left(1+\left(\dfrac{5}{7}\right)^n\right)}{5^n\left(1+\left(\dfrac{3}{5}\right)^n\right)}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \left(\frac{7}{5}\right)^n=\infty \end{split} \]Oblicz granicę ciągu \(\lim_{n \to \infty} n(\ln (n+1)-\ln n)\)\(1\)\[ \begin{split} &\lim_{n \to \infty} n\left(\ln (n+1)-\ln n\right)=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} n\left(\ln \frac{n+1}{n}\right)=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \ln \left(\frac{n+1}{n}\right)^n=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)^n=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \ln e=1 \end{split} \]Oblicz granicę ciągu \(\lim_{n \to \infty} \frac{\log_2(n+1)}{\log_3(n+1)}\)\(\log_23\)\[ \begin{split} &\lim_{n \to \infty} \frac{\log_2(n+1)}{\log_3(n+1)}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{\log_2(n+1)}{\frac{\log_2(n+1)}{\log_23}}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \log_23=\\[16pt] &=\log_23 \end{split} \]Oblicz granicę ciągu \(\lim_{n \to \infty} (1+2^n-3^n)\)\(-\infty \)\[ \begin{split} &\lim_{n \to \infty} (1+2^n-3^n)=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} 3^n\left(\frac{1}{3^n}+\left(\frac{2}{3}\right)^n-1\right)=\\[16pt] &=-\lim_{n \to \infty} 3^n=-\infty \end{split} \]Oblicz granicę ciągu \(\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n+5}{n}\right)^n\)\(e^5\)\[ \begin{split} &\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n+5}{n}\right)^n=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{5}{n}\right)^n=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty}\left(1+\frac{1}{\frac{n}{5}}\right)^n=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \left[\left(1+\frac{1}{\frac{n}{5}}\right)^\dfrac{n}{5}\right]^5=\\[16pt] &=e^5 \end{split} \]Oblicz granicę ciągu \(\lim_{n \to \infty} \left(1-\frac{1}{n^2}\right)^n\)\(1\)\[ \begin{split} &\lim_{n \to \infty} \left(1-\frac{1}{n^2}\right)^n=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \left(\left(1-\frac{1}{n^2}\right)^{n^2}\right)^{\frac{1}{n}}=\\[16pt] &=e^0=1 \end{split} \]Oblicz granicę ciągu \(\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n^2+6}{n^2}\right)^{n^2}\)\(e^6\)\[ \begin{split} &\lim_{n \to \infty} \left(\frac{n^2+6}{n^2}\right)^{n^2}=\\[6pt] &=\lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{6}{n^2}\right)^{n^2}=\\[6pt] &=\lim_{n \to \infty} \left[\left(1+\frac{6}{n^2}\right)^{\dfrac{n^2}{6}}\right]^6=\\[6pt] &=e^6 \end{split} \]Oblicz granice funkcji \(\lim_{x \to {-3}} (x^2+3x+7)\)7\[ \lim_{x \to {-3}} (x^2+3x+7)=(-3)^2+3\cdot (-3)+7=7 \]Oblicz granicę funkcji \(\lim_{x \to 4}\frac{\sqrt{x^2-16}}{4x+2} \)\(0\)\[ \lim_{x \to 4}\frac{\sqrt{x^2-16}}{4x+2} =\frac{\sqrt{4^2-16}}{4\cdot 4+2}=\frac{0}{18}=0 \]Oblicz granicę funkcji \(\lim_{x \to 2}\frac{x^2-6x+9}{x^2-9} \)\(0\)\[ \begin{split} &\lim_{x \to 3}\frac{x^2-6x+9}{x^2-9} =\\[15pt] &=\lim_{x \to 3}\frac{(x-3)^2}{(x-3)(x+3)}=\\[15pt] &=\lim_{x \to 3}\frac{x-3}{x+3}=\\[15pt] &=\frac{0}{6}=0 \end{split} \]Oblicz granicę funkcji \(\lim_{x \to 1}\frac{1-x^2}{\left(1-\sqrt{x}\right)} \)\(4\)\[ \begin{split} &\lim_{x \to 1}\frac{1-x^2}{\left(1-\sqrt{x}\right)} =\\[16pt] &=\lim_{x \to 1}\frac{(1-x)(1+x)}{\left(1-\sqrt{x}\right)} =\\[16pt] &=\lim_{x \to 1}\frac{\left(1-\sqrt{x}\right)\left(1+\sqrt{x}\right)(1+x)}{\left(1-\sqrt{x}\right)} =\\[16pt] &=\lim_{x \to 1} \left(1+\sqrt{x}\right)(1+x)=\\[16pt] &=2\cdot 2=4 \end{split} \]Oblicz granicę funkcji \(\lim_{z \to -2} \frac{z^3+4z^2+4z}{z^2-z-6}\)\(0\)\[ \begin{split} &\lim_{z \to -2}\frac{z(z^2+4z+4)}{(z+2)(z-3)}=\\[16pt] &=\lim_{z \to -2}\frac{z(z+2)^2}{(z+2)(z-3)}=\\[16pt] &=\lim_{z \to -2}\frac{z(z+2)}{z-3} =\\[16pt] &=\frac{0}{-5}=0 \end{split} \]Oblicz granicę funkcji \(\lim_{n \to \infty} \frac{2x^2-1}{7x^2+2x}\)\(\frac{2}{7}\)\[\begin{split} &\lim_{n \to \infty} \frac{2x^2-1}{7x^2+2x}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{2x^2-1}{7x^2+2x}\cdot \frac{\frac{1}{x^2}}{\frac{1}{x^2}}=\\[16pt] &=\lim_{n \to \infty} \frac{2-\dfrac{1}{x^2}}{7+\dfrac{2}{x}}=\\[16pt] &=\frac{2}{7} \end{split}\]Oblicz granicę funkcji \(\lim_{n \to -\infty}\frac{1+\sqrt{2x^2-1}}{x} \)\(-\sqrt{2}\)\[\begin{split} &\lim_{n \to -\infty}\frac{1+\sqrt{2x^2-1}}{x}=\\[16pt] &=\lim_{n \to -\infty}\frac{1+\sqrt{2x^2-1}}{x}\cdot \frac{\frac{1}{|x|}}{\frac{1}{|x|}}=\\[16pt] &=\lim_{n \to -\infty}\dfrac{\dfrac{1}{|x|}+\sqrt{\dfrac{2x^2}{|x^2|}-\dfrac{1}{|x^2|}}}{\dfrac{x}{|x|}}=\\[16pt] &=\lim_{n \to -\infty}\dfrac{\dfrac{1}{|x|}+\sqrt{\dfrac{2x^2}{x^2}-\dfrac{1}{x^2}}}{-1}=\\[16pt] &=\lim_{n \to -\infty}\dfrac{\dfrac{1}{|x|}+\sqrt{2-\dfrac{1}{x^2}}}{-1}=\\[16pt] &=\dfrac{0+\sqrt{2-0}}{-1}=\\[16pt] &=-\sqrt{2} \end{split}\]Oblicz granicę funkcji \(\lim_{x \to 2}\left(\frac{1}{x-2}-\frac{4}{x^2-4}\right) \)\(\frac{1}{4}\)\[ \begin{split} &\lim_{x \to 2}\left(\frac{1}{x-2}-\frac{4}{x^2-4}\right)=\\[16pt] &=\lim_{x \to 2}\left(\frac{x+2}{(x-2)(x+2)}-\frac{4}{(x-2)(x+2)}\right)=\\[16pt] &=\lim_{x \to 2}\frac{(x-2)}{(x-2)(x+2)}=\\[16pt] &=\lim_{x \to 2}\frac{1}{x+2}=\frac{1}{4} \end{split} \]Oblicz granicę funkcji \(\lim_{x \to 2} \frac{x^4-8x^2+16}{(x-2)(x-3)}\)\(0\)\[ \begin{split} &\lim_{x \to 2} \frac{x^4-8x^2+16}{(x-2)(x-3)}=\\[16pt] &=\lim_{x \to 2}\frac{(x^2-4)^2}{(x-2)(x-3)}=\\[16pt] &=\lim_{x \to 2}\frac{(x-2)^2(x+2)^2}{(x-2)(x-3)}=\\[16pt] &=\lim_{x \to 2}\frac{(x-2)(x+2)^2}{x-3}=\\[16pt] &=\frac{0}{-1}=0 \end{split} \]Oblicz granicę funkcji \(\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{1+x}+3x}{\sqrt{1+x^2}}\)\(3\)\[ \begin{split} &\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{1+x}+3x}{\sqrt{1+x^2}}=\\[16pt] &=\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{1+x}+3x}{\sqrt{1+x^2}}\cdot \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x}}=\\[16pt] &=\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{x}{x^2}}+\dfrac{3x}{x}}{\sqrt{\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{x^2}{x^2}}}=\\[16pt] &=\lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x}}+3}{\sqrt{\dfrac{1}{x^2}+1}}=\\[16pt] &=\frac{3}{\sqrt{1}}=3 \end{split} \]Oblicz granicę funkcji \(\lim_{x \to -1} \frac{x^4+3x^2-4}{x+1}\)\(-10\)\[ \begin{split} &\lim_{x \to -1} \frac{x^4+3x^2-4}{x+1}=\\[16pt] &=\lim_{x \to -1}\frac{(x^2+4)(x^2-1)}{x+1}=\\[16pt] &=\lim_{x \to -1}\frac{(x^2+4)(x-1)(x+1)}{x+1}=\\[16pt] &=\lim_{x \to -1}(x^2+4)(x-1)=\\[16pt] &=5\cdot (-2)=-10 \end{split} \]Oblicz granicę funkcji \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x}\)2\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x}=\lim_{x \to 0}\frac{2\sin 2x}{2x}=2\lim_{x \to 0}\frac{\sin 2x}{2x}=2 \]Oblicz granicę funkcji \(\lim_{x \to -1}\frac{\sin (x+1)}{1-x^2} \)\(\frac{1}{2}\)\[ \begin{split} &\lim_{x \to -1}\frac{\sin (x+1)}{1-x^2}=\\[16pt] &=\lim_{x \to -1}\frac{\sin (x+1)}{(1-x)(1+x)}=\\[16pt] &=\lim_{x \to -1}\frac{\sin (x+1)}{1+x}\cdot \lim_{x \to -1}\frac{1}{1-x}=\\[16pt] &=1\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2} \end{split} \]Oblicz granicę funkcji \(\lim_{x \to \dfrac{\pi }{4}}\frac{\sqrt{\sin x}-\sqrt{\cos x}}{\sin x-\cos x} \)\(\frac{1}{\sqrt{2\sqrt{2}}}\)\[ \begin{split} &\lim_{x \to \dfrac{\pi }{4}}\frac{\sqrt{\sin x}-\sqrt{\cos x}}{\sin x-\cos x} =\\[16pt] &=\lim_{x \to \dfrac{\pi }{4}}\frac{(\sqrt{\sin x}-\sqrt{\cos x})}{(\sqrt{\sin x}-\sqrt{\cos x})(\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x})}=\\[16pt] &=\lim_{x \to \dfrac{\pi }{4}}\frac{1}{\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}}=\\[16pt] &=\frac{1}{\sqrt{\frac{\sqrt{2}}{2}}+\sqrt{\frac{\sqrt{2}}{2}}}=\frac{1}{\sqrt{2\sqrt{2}}} \end{split} \]

jak liczyć granice ciągu